(Pi = C / D ou C = Pi x D). Ce rapport est constant, quel que soit le cercle considéré. On dit que Pi est une constante mathématique. Un cercle est une figure géométrique (ligne de points). Un disque est une surface, une portion du plan. Exemples trouvés par par les élèves:
- Faire rechercher les mots de la famille de cercle, disque, rayon, diamètre, cylindre, rond, courbe, cône, rapport, constant. Plutôt que de donner la formule toute faite aux élèves ( Pi = 3,1416...), mieux vaut la faire découvrir de manière empirique. Pour cela, il faut passer par une manipulation qui demande une certaine précision. Il n'est pas facile de mesurer la circonférence et le diamètre d'un cercle. On va employer une méthode simple qui consiste à faire rouler une pièce cylindrique sur une feuille de papier; une tache d'encre ou un point tracé au feutre sur le pourtour laissera son empreinte sur la feuille, il suffira alors de mesurer la distance entre les deux empreintes pour connaître la circonférence. On a plus de succès avec des pièces massives: roulette de trottinette, boîtes de conserve pleines (rebord), canettes de boisson, roues d'un vélo ou d'un jouet, roulements à billes récupérés dans un garage auto; l'avantage des roulements est qu'ils possèdent des diamètres normalisés: il n'y a donc pas d'erreur possible sur les mesures. De plus, ils sont amusants à manipuler.
La mesure du diamètre reste délicate; si on a pas de pied à coulisse, on peut utiliser deux équerres placées sur une longue règle: attention au repérage du zéro et aux angles rognés de l'équerre.
Déroulement en 5 étapes:
1/ Ensemble, on observe la manip réalisée pour un gros objet (roue de vélo sur le sol). On constate que la circonférence vaut "un peu plus de trois fois le diamètre". ("Il y va 3 fois, il reste quelques centimètres"). On peut utiliser une cordelette pour visualiser ce fait.
Cette valeur, ce rapport est-il le même pour tous les cercles ?
2/ Chaque groupe reçoit le matériel nécessaire et commence les mesures. On évitera les nombres décimaux en mesurant tout en millimètres. On n'oubliera pas d'indiquer l'unité après le nombre.
3/ Chacun à son tour, on recommence la mesure du même objet pour éviter les erreurs.
4/ Chaque groupe procède aux calculs et donne son rapport C/D (au millième près).
5/ On réunit les résultats de chaque groupe dans un tableau,
et l'on calcule la valeur moyenne de Pi.
Voici les résultats obtenus pour la mesure de différents roulements à billes:
Ensuite, on peut mettre au propre le résultat de la manipulation et déduire une formule générale que l'on exprimera d'abord en français, puis sous une forme mathématique en trois étapes:
- La circonférence d'un cercle vaut environ trois fois son diamètre.
- La circonférence d'un cercle vaut 3,14 fois son diamètre
- C = 3,14 x D
- C = Pi x D ou C = Pi x D
3,14 est une valeur approchée du nombre Pi, qui vaut "exactement" 3,1415926....
On passe facilement aux autres formules: C = Pi x D = p x 2 x r ou C = 2 x Pi x r ou encore Pi = C/D
(C'est le moment d'exploiter une calculatrice et d'expliquer l'origine de la constante Pi, que le savant grec Archimède avait calculée plus de 2000 ans avant nous... On en profite pour parler de l'Antiquité, de la naissance de la géométrie, de l'alphabet grec et autres réjouissances).