Calcul de Pi à partir de mesures empiriques

Rappels:
Pi représente le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle:
(Pi = C / D ou C = Pi x D). Ce rapport est constant, quel que soit le cercle considéré. On dit que Pi est une constante mathématique.
Un cercle est une figure géométrique (ligne de points). Un disque est une surface, une portion du plan.
Exemples trouvés par par les élèves:

 cercles  disques  cylindres
 équateur terrestre, parallèles, cercle polaire, rebord d'une boîte, marquages sur le terrain de sport cd audio,  cible, surface d'un liquide dans un récipient circulaire, couvercle de boîte, membrane de tambour boîte de conserve, roue de voiture, canette, verre, tube à essai, tuyau, rouleau de papier,  corbeille à papier...

- Faire rechercher les mots de la famille de cercle, disque, rayon, diamètre, cylindre, rond, courbe, cône, rapport, constant.
 
Plutôt que de donner la formule toute faite aux élèves ( Pi = 3,1416...), mieux vaut la faire découvrir de manière empirique.
Pour cela, il faut passer par une manipulation qui demande une certaine précision. Il n'est pas facile de mesurer la circonférence et le diamètre d'un cercle. On va employer une méthode simple qui consiste à faire rouler une pièce cylindrique sur une feuille de papier; une tache d'encre ou un point tracé au feutre sur le pourtour laissera son empreinte sur la feuille, il suffira alors de mesurer la distance entre les deux empreintes pour connaître la circonférence.
On a plus de succès avec des pièces massives: roulette de trottinette, boîtes de conserve pleines (rebord), canettes de boisson, roues d'un vélo ou d'un jouet, roulements à billes récupérés dans un garage auto; l'avantage des roulements est qu'ils possèdent des diamètres normalisés: il n'y a donc pas d'erreur possible sur les mesures. De plus, ils sont amusants à manipuler.

 On a mesuré tous les diamètres des roulements avec un pied à coulisse

On marque un trait au feutre sur le roulement, puis on le fait rouler sur la feuille, sans déraper. 

 On mesure ensuite l'écart entre les deux empreintes pour connaître la circonférence exacte.

La mesure du diamètre reste délicate; si on a pas de pied à coulisse, on peut utiliser deux équerres placées sur une longue règle: attention au repérage du zéro et aux angles rognés de l'équerre.

Déroulement en 5 étapes:

1/ Ensemble, on observe la manip réalisée pour un gros objet (roue de vélo sur le sol). On constate que la circonférence vaut "un peu plus de trois fois le diamètre". ("Il y va 3 fois, il reste quelques centimètres"). On peut utiliser une cordelette pour visualiser ce fait.

Cette valeur, ce rapport est-il le même pour tous les cercles ?

2/ Chaque groupe reçoit le matériel nécessaire et commence les mesures. On évitera les nombres décimaux en mesurant tout en millimètres. On n'oubliera pas d'indiquer l'unité après le nombre.

3/ Chacun à son tour, on recommence la mesure du même objet pour éviter les erreurs.

4/ Chaque groupe procède aux calculs et donne son rapport C/D (au millième près).

5/ On réunit les résultats de chaque groupe dans un tableau,

et l'on calcule la valeur moyenne de Pi.

Voici les résultats obtenus pour la mesure de différents roulements à billes:

table de: Coralie et Kévin Dany et Julien   David et Alexandra  Lilia et Benoît  Stéphane et Imène Jennifer et Thomas  Nicolas et  Fath Camille et Marion 
Diamètre   28 mm  100 mm  62 mm  32 mm  35 mm  80 mm  47 mm 42 mm 
Circonférence  88 mm   315 mm  197 mm  100 mm 110 mm  249 mm  148 mm  132 mm 
rapport  C/D 3,142  3,15   3,177 3,125   3,142 3,112   3,148  3,142
valeur moyenne de C/D ( 3,142 + 3,15 + 3,177 + 3,125 + 3,142 + 3,112 + 3,148 + 3,142 ) : 8 = 3,142

Ensuite, on peut mettre au propre le résultat de la manipulation et déduire une formule générale que l'on exprimera d'abord en français, puis sous une forme mathématique en trois étapes:

- La circonférence d'un cercle vaut environ trois fois son diamètre.

- La circonférence d'un cercle vaut 3,14 fois son diamètre

- C = 3,14 x D

- C = Pi x D ou C = Pi x D

3,14 est une valeur approchée du nombre Pi, qui vaut "exactement" 3,1415926....

On passe facilement aux autres formules: C = Pi x D = p x 2 x r ou C = 2 x Pi x r ou encore Pi = C/D

(C'est le moment d'exploiter une calculatrice et d'expliquer l'origine de la constante Pi, que le savant grec Archimède avait calculée plus de 2000 ans avant nous... On en profite pour parler de l'Antiquité, de la naissance de la géométrie, de l'alphabet grec et autres réjouissances).

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