Calcul de Pi
Rappels:
Pi représente le rapport
entre la circonférence et le diamètre d'un cercle:
(Pi = C / D ou C = Pi x D).
Ce rapport est constant, quel que soit le cercle considéré.
On dit que Pi est une constante mathématique.
Un cercle est une figure géométrique
(ligne de points). Un disque est
une surface, une portion du plan.
Exemples trouvés par
par les élèves:
cercles |
disques |
cylindres |
équateur
terrestre, parallèles, cercle polaire, rebord d'une boîte,
marquages sur le terrain de sport |
cd audio, cible, surface d'un liquide
dans un récipient circulaire, couvercle de boîte,
membrane de tambour |
boîte de conserve, roue de voiture,
canette, verre, tube à essai, tuyau, rouleau de papier,
corbeille à papier... |
- Faire rechercher
les mots de la famille de cercle, disque, rayon, diamètre, cylindre,
rond, courbe, cône, rapport, constant.
Plutôt que de donner la formule
toute faite aux élèves ( Pi = 3,1416...), mieux
vaut la faire découvrir de manière empirique.
Pour cela, il faut passer par une
manipulation qui demande une certaine précision. Il n'est
pas facile de mesurer la circonférence et le diamètre
d'un cercle. On va employer une méthode simple qui consiste
à faire rouler une pièce cylindrique sur une feuille
de papier; une tache d'encre ou un point tracé au feutre
sur le pourtour laissera son empreinte sur la feuille, il suffira
alors de mesurer la distance entre les deux empreintes pour connaître
la circonférence.
On a plus de succès avec
des pièces massives: roulette de trottinette, boîtes
de conserve pleines (rebord), canettes de boisson, roues d'un
vélo ou d'un jouet, roulements à billes récupérés
dans un garage auto; l'avantage des roulements est qu'ils possèdent
des diamètres normalisés: il n'y a donc pas d'erreur
possible sur les mesures. De plus, ils sont amusants à
manipuler.
On a mesuré tous les diamètres des roulements
avec un pied à coulisse |
|
On marque un trait
au feutre sur le roulement, puis on le fait rouler sur la feuille,
sans déraper. |
|
On mesure ensuite
l'écart entre les deux empreintes pour connaître
la circonférence exacte. |
|
La mesure du diamètre
reste délicate; si on a pas de pied à coulisse,
on peut utiliser deux équerres placées sur une longue
règle: attention au repérage du zéro et aux
angles rognés de l'équerre.
Déroulement en 5
étapes:
1/ Ensemble, on observe la
manip réalisée pour un gros objet (roue de vélo
sur le sol). On constate que la circonférence vaut "un
peu plus de trois fois le diamètre". ("Il y va
3 fois, il reste quelques centimètres"). On peut
utiliser une cordelette pour visualiser ce fait.
Cette valeur, ce rapport
est-il le même pour tous les cercles ?
2/ Chaque groupe reçoit
le matériel nécessaire et commence les mesures.
On évitera les nombres décimaux en mesurant tout
en millimètres. On n'oubliera pas d'indiquer l'unité
après le nombre.
3/ Chacun à son tour,
on recommence la mesure du même objet pour éviter
les erreurs.
4/ Chaque groupe procède
aux calculs et donne son rapport C/D (au millième près).
5/ On réunit les résultats
de chaque groupe dans un tableau,
et l'on calcule la valeur moyenne
de Pi.
Voici les résultats
obtenus pour la mesure de différents roulements à
billes:
table de: |
Coralie et Kévin |
Dany et Julien |
David et Alexandra |
Lilia et Benoît |
Stéphane et Imène |
Jennifer et Thomas |
Nicolas et Fath |
Camille et Marion |
Diamètre |
28 mm |
100 mm |
62 mm |
32 mm |
35 mm |
80 mm |
47 mm |
42 mm |
Circonférence |
88 mm |
315 mm |
197 mm |
100 mm |
110 mm |
249 mm |
148 mm |
132 mm |
rapport C/D |
3,142 |
3,15 |
3,177 |
3,125 |
3,142 |
3,112 |
3,148 |
3,142 |
valeur moyenne de C/D |
( 3,142 + 3,15 + 3,177 + 3,125
+ 3,142 + 3,112 + 3,148 + 3,142 ) : 8 = 3,142 |
Ensuite, on peut mettre au
propre le résultat de la manipulation et déduire
une formule générale que l'on exprimera d'abord
en français, puis sous une forme mathématique en
trois étapes:
- La circonférence
d'un cercle vaut environ trois fois son diamètre.
- La circonférence
d'un cercle vaut 3,14 fois son diamètre
- C = 3,14 x D
- C = Pi x D ou C = Pi
x D
3,14 est une valeur approchée
du nombre Pi, qui vaut "exactement" 3,1415926....
On passe facilement aux autres
formules: C = Pi x D = p x 2 x r ou C = 2 x Pi x r ou encore Pi = C/D
(C'est le moment d'exploiter
une calculatrice et d'expliquer l'origine de la constante Pi,
que le savant grec Archimède avait calculée plus
de 2000 ans avant nous... On en profite pour parler de l'Antiquité,
de la naissance de la géométrie, de l'alphabet grec
et autres réjouissances).
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